Centro San Domenico

Piazza San Domenico 12

40124 BOLOGNA

tel. 051 581718

http://www.csdricerca.com/

Bologna, 11 dicembre 2016

Agli amici degli

Incontri Interdisciplinari

Carissimi,

ci rivedremo lunedì 19 dicembre, alle ore 21, presso il Convento San Domenico, che ci ospiterà nella sua “sala rossa”, cui si accede da Via San Domenico 1.

Proseguiremo il dibattito su:

“indecidibilità: matematica-formale o anche nella realtà?”

animato la volta scorsa dal prof. Jaime Julve Pérez.

Vi allego il resoconto, che purtroppo non ho avuto tempo di far controllare. Vi prego di perdonare errori o fraintendimenti.

Poiché molti di voi non saranno presenti, vorrei fare a tutti gli auguri di un Santo Natale e un felice anno nuovo.

Un cordiale saluto in attesa di rivederci.

fra Sergio Parenti O.P.

__________________________________

Breve resoconto dell'Incontro interdisciplinare del 19 dicembre 2016

a cura di fra Sergio Parenti O.P. e Jaime Julve Pérez (la relazione introduttiva)

JULVE : Relazione introduttiva.

Nell’incontro del 21-11-2016 Rita Casadio ha posto la questione se la computazione quantistica potrebbe risolvere le situazioni di non calcolabilità algoritmica (l’halting problem di Turing e corrispondentemente le indecidibilità gödelliane). Risposi allora esprimendo dubbio e azzardando un “forse”.

Ho fatto una ricerca per approfondire la mia conoscenza sulla computazione quantistica e provo a fare a continuazione un riassunto dei principi fondamentali del calcolo quantistico (CQ nel seguito) nei confronti di quello classico (CC), e riporterò alcune conclusioni rilevanti per noi. I non interessati ai particolari matematici possono saltare le prossime sezioni e andare direttamente alle conclusioni e commenti finali.

Bit e Qubit

Il CC implementato nei computer traduce i comuni numeri di base decimale nel codice binario, dove il bit elementare d’informazione (b) può prendere i valori (0) e (1). Il bit si realizza fisicamente con transistor in circuiti elettrici che possono essere aperti (0) o chiusi (1), con materiali che possono essere smagnetizzati o magnetizzati, ecc. Una stringa di n bit può rappresentare 2n numeri binari diversi (con corrispondenti numeri in base decimale). Il “byte” usato nei calcolatori è una stringa di n = 8 bit e può rappresentare 256 numeri diversi. Come aiuto utile per gli esempi posteriori presentiamo la corrispondenza tra i primi numeri interi, fermandoci a 4 bit:

In entrambi i casi si possono aggiungere a convenienza zeri non significativi a sinistra per riempire le stringhe di lunghezza fissa facenti parte dei dati nello standard “doppia precisione - formato binary64” (totale di 64 bit tra il segno, l’esponente e la frazione) comunemente usati nelle memorie dei computer.

Il CQ adotta come elemento basico d’informazione il “qubit” (q), che sfrutta la proprietà prettamente quantistica della sovrapposizione degli stati quantistici (0) e (1). Qui non si tratta più di sistemi fisici macroscopici (quindi “classici”) come un transistor o un dominio magnetico, ma di oggetti, spesso microscopici, che obbediscono alla meccanica quantistica (MQ): può essere un atomo il cui spin (momento angolare quantizzato) abbia, nell’atto della sua misurazione, due valori, up (che chiamiamo 0) e down (1), o un atomo con due livelli di energia (quantizzata) corrispondenti a uno stato fondamentale 0 e uno eccitato 1, o un circuito superconduttore integrato (dispositivi “squid” miniaturizzati) il cui flusso magnetico è quantizzato (e di conseguenza l’intensità della corrente elettrica che circola in esso), ecc.

Il tratto caratteristico della MQ è che, prima della operazione di misurazione, il sistema può esistere in una sovrapposizione degli stati (0) e (1), cioè come una combinazione lineare

(q) = q0 (0) + q1 (1)

dove i coefficienti q0 e q1 sono numeri complessi (un numero complesso q si scrive come q = a + i b dove a è la parte reale e i b la immaginaria, cioè un altro numero reale b moltiplicato per l’unità immaginaria i = √-1. La teoria quantistica stabilisce che questi coefficienti sono “ampiezze di probabilità” il cui modulo al quadrato (definizione: |q|2 = a2 + b2) rappresenta la probabilità di trovarsi nel corrispondente stato quando viene effettuata la misurazione. La probabilità totale delle possibilità 0 e 1 deve sommare 1 (cioè certezza), quindi imponiamo la condizione |q0 |2 + |q1 |2 = 1. Inoltre la “fase globale” (un fattore moltiplicativo di modulo 1) degli stati quantistici è fisicamente inosservabile, quindi arbitraria e ignorabile. Nel caso dello stato (q) abbiamo allora in partenza 4 parametri reali descrittivi (le parti reali e immaginarie di q0 e q1). La condizione del modulo lascia tre parametri liberi ma costretti a prendere valori nell’intervallo continuo tra 0 e 1, e la fase arbitraria ne elimina finalmente un altro. Riassumendo, un qubit viene descritto da due parametri reali, ciascuno dei quali può prendere gli infiniti valori numerici intermedi che esistono tra 0 e 1, codesti compresi. La differenza con il bit classico è un vero salto concettuale e qualitativo: il primo codifica due sole possibilità (i valori 0 e 1), mentre il qubit ne codifica “infinite al quadrato”.

“Numeri” a più qubit

La differenza diventa ancora più drammatica quando andiamo su con le cifre. Nel CC, con due bit abbiamo 22 = 4 possibilità (che corrispondono ai numeri decimali 0, 1, 2 e 3 come abbiamo visto sopra):

00 01 10 11

Un 2-qubit consiste nella sovrapposizione dei corrispondenti stati quantistici, cioè

(q) = q0 (00) + q1 (01) + q2 (10) + q3 (11)

e viene descritto da 6 parametri reali, ciascuno dei quali a valori nell’intervallo tra 0 e 1, e codifica quindi “infinito alla sesta” possibilità. Un n-qubit contiene 2(n+1)-2 tali parametri (per n grande e sottintendendo parametri complessi, si usa dire che abbiamo 2n parametri).

Il calcolo quantistico

Prendiamo un problema nel quale i valori numerici coinvolti possano stare in un stringa di tre bit. In tale caso nel CC abbiamo a disposizione gli otto numeri

binari 000 001 010 011 100 101 110 111 che corrispondono ai decimali 0 1 2 3 4 5 6 7

Il problema che abbiamo scelto è il calcolo della superficie di un quadrato di lato L, che sappiamo risulta essere S = L2. Per fissare le idee con un calcolo numerico concreto prendiamo per esempio il valore L = 2, sicché il risultato è S = 4. Il CC, che lavora in binario, prende L = 010, lo manipola con i protocolli del suo programma (algorimo) binario e ottiene il risultato binario S = 100. Finalmente ce lo rende sullo schermo nella base decimale come S = 4.

Il CQ parte dall’input L = 2 traducendolo in uno stato quantistico (q), concretamente nella sovrapposizione

(q) = q0 (000) + q1 (001) + q2 (010) + q3 (011) + q4 (100) + q5 (101) + q6 (110) + q7 (111)

dove tutti i coefficienti qi sono nulli eccetto q2 che vale 1. Poi lo manipola con l’algoritmo quantistico con cui è configurato il calcolatore concreto e ottiene il risultato nella forma di uno stato finale (q’), in cui i coefficienti complessi sono q’0 , ….. , q’7 . Qui subentra la natura statistica dell’operazione di misurazione nel formalismo quantistico, che suppone si abbia a disposizione un “insieme statistico”, cioè un numero elevato, di stati identici (q’): nell’effettuare la misurazione su ciascuno di essi, la probabilità di ottenere il risultato, mettiamo, (110) viene data da |q’6 |2. In corrispondenza con il risultato S = 100 del CC, ciò che succederà con il nostro CQ è che, dopo molte misurazioni su (q’) otterremo una distribuzione di probabilità “piccata” su |q’4 |2 = 1 piuttosto che un netto q’4 = 1 e tutti gli altri coefficienti q’i nulli.

Nell’atto pratico, l’insieme statistico (q’) si dovrebbe ottenere facendo molte volte lo stesso calcolo partendo dallo stesso (q) iniziale, ma il protocollo quantistico si può congegnare in maniera che ciò avvenga automaticamente in maniera da produrre un numeroso insieme di (q’) identici, provveda poi a effettuare la misurazione su ciascuno di essi e ci dia finalmente la distribuzione di probabilità. Sottolineiamo qui solamente il fatto che gli algoritmi e i risultati del CQ sono di natura probabilistica, la cui precisione si può aumentare solo a base di crescenti ripetizioni del calcolo.

Commenti e conclusioni

Nella descrizione precedente abbiamo tralasciato le procedure, fondamentali, di registro e lettura dell’informazione nei qubit, che creano profondi problemi concettuali e pratici. Il CQ è un campo in piena esplorazione, con molto variegati tentativi, approcci e interpretazioni oggetto di attiva ricerca.

L’implementazione fisica di quanto descritto sopra fa uso di un altro fenomeno esclusivamente quantistico qual è l’esistenza di stati “intrecciati” (entangled). Una difficoltà pratica immensa è quella di mantenere “puri” gli stati quantistici e le loro sovrapposizioni (mantenimento della “coerenza”) per causa delle difficilmente evitabili interazioni con il resto del mondo: è difficilissimo mantenere i supporti dei qubit (atomi o circuiti) isolati a lungo dall’impatto di fotoni, altre particelle elementari o perturbazioni provenienti dall’ambiente, che ne alterino lo stato. In questo senso, i più pessimisti pensano che il CQ, come possibilità pratica, rimarrà sempre “il computer del futuro”.

Dall’abbondante letteratura in questo campo riportiamo alcune conclusioni che si capiscono meglio in vista delle sezioni precedenti. Ne elenchiamo alcune:

Data la natura probabilistica delle procedure e dell’informazione manipolata, il CQ può prestarsi in maniera naturale a implementare la fuzzy logic. Ci sono studi in questa direzione.

Il CQ, manipolando distribuzioni di probabilità di possibilità compresenti (le sovrapposizioni), esegue una sorta di calcolo classico parallelo con elevato grado di “parallelismo”. In maniera gedanken, disponendo sequenzialmente questi calcoli paralleli (sempre in numero finito), non si ottiene concettualmente niente di nuovo rispetto ad una macchina universale di Turing. In particolare non si risolve l’halting problem. Ciò risponde negativamente alla questione posta da Casadio: le indecidibilità algoritmiche rimangono tali.

Nella prospettiva di oggi (la cautela è d’obbligo), il CQ, con algoritmi specializzati, potrà tutt’al più accelerare certi calcoli in cui si cerca di discriminare tra molte possibilità compresenti (tipo la fattorizzazione degli interi in numeri primi -spesso usata come test-, il problema del commesso viaggiatore, il ripiegamento delle proteine, e chissà se soppiantare Deep Blue come giocatore di scacchi), ma non risolvere problemi che non possa affrontare una macchina di Turing classica in tempi molto più lunghi.

SARTI – In questo modo si supera l'indecidibilità di Gödel? Io credo che noi uomini riusciamo ad aggirarla con altri sistemi, ad esempio procedendo attraverso la nostra esperienza, oppure attraverso procedimenti di intuizione: procedimenti che la nostra testa usa senza fare calcoli. Molte volte non riusciamo a ricostruire come ci siamo arrivati: ad esempio davanti ad un'opera d'arte, ad una musica.

PARENTI – C'era l'intellectus principiorum, l'intelligenza delle verità non dimostrabili, che potremmo chiamare intuizione.

JULVE – Il computer quantistico non supera l'indecidibilità di Gödel. Prospetta la possibilità di fare una specie di calcolo parallelo, ma traducibile in termini di calcolo sequenziale: la logica alla fine è la stessa e una questione indecidibile rimane tale. La logica sfumata, la fuzzy logic, sarebbe molto adatta al computer quantistico. Come funziona il cervello? Ammesso che funzioni come un computer, non sappiamo su che base numerica operi. Certamente lavora in maniera mista a quella quantistica, perché i neuroni con le sinapsi potrebbero avere connessioni come quelle che chiamiamo “intreccio quantistico”: lo stato quantistico di diverse componenti è diverso da quello classico ed ha correlazioni anche a lunga distanza. La memoria sembra essere una sorta di accordo collettivo tra neuroni anche distanti tra loro. Sappiamo poco. Inoltre una macchina rimane sempre una macchina: la mente umana mi sembra andare oltre la macchina. Il controllo degli appalti contro la corruzione non riesce a farlo un computer. La macchina non riesce ad agire in mala fede.

FRATTINI – Anche per l'indecidibilità, che è obiettivamente tale anche per l'essere umano, l'uomo può superare la cosa con altre capacità. Uno stesso disegno può venire interpretato come un calice o una farfalla: io decido, ma in base ad altro.

JULVE – Qualcosa di esterno rispetto al sistema.

FRATTINI – L'infinito al quadrato, persino l'infinito all'infinito, ha un senso matematico, ma non parlando di Dio.

PARENTI – Indecidibile vuol dire che mi porta ad un paradosso, come quello del mentitore, dove ci si auto-contraddice senza via d'uscita? Oppure vuol dire che ho un discorso sensato ed ho una proposizione che riconosco vera, e però partendo dagli assiomi di quel discorso non c'è un percorso che conduca a quella verità? Possono esserci eventi non deducibili. Nel paradosso invece la catena di inferenze c'è, ma porta a contraddirsi. In ogni caso qui si parla di ragionamento come calcolo, mentre il sillogismo dimostrativo di Aristotele è un'altra cosa dal calcolare: la logica formale prescinde da ciò di cui si parla e non potrà mai dare l'evidenza di ciò che dimostra. Qui l'evidenza riguarda il rispetto delle regole nei singoli passaggi. Questo distacco dall'oggetto rende più facile trovarsi d'accordo e forse per questo si desiderava ridurre il ragionamento a ragionamento matematico.

JULVE – Mi sono sentito dire: “Il ragionamento è rigoroso, ma non ne sono molto convinto”. Ma se uno ha veramente capito può dire questo? Può dire che ha capito che due più tre fa cinque, ma non ne è molto convinto?

FRATTINI – Il computer quantistico dice che la massima probabilità è che faccia cinque. Ho sentito anche dei teologi fare discorsi fondati tutti sui possibili, non sulla necessità. Sarebbe un superamento della logica formale? Anche la logica fuzzy tratta di probabilità.

PARENTI – Si riesce a fare un discorso rigoroso anche su ciò che è possibile o probabile. I teologi lavorarono moltissimo sui possibili, perché le idee che Dio ha in mente non le ha attuate tutte. Inoltre si parlava di possibilità anche nelle dispute sulla predestinazione.

FRATTINI – Nell'ambito delle possibilità si è cercato anche di fare una dimostrazione dell'esistenza di Dio.

PARENTI – C'è la prova di Duns Scoto, che per me è troppo difficile da capire. Il problema è il passaggio dal posse all'esse. Aristotele aveva detto che in sempiternis idem est posse et esse. Se una cosa dura sempre, prima o poi riesce ad attuare le sue potenzialità, altrimenti non sarebbe capace. Ma si parla di una possibilità reale, non solo logica (ciò che non è contraddittorio). Questo discorso piaceva anche agli anti-aristotelici. Però ad Aristotele questo discorso serviva a dire che ciò che è generabile è anche corruttibile e ciò che è ingenerabile è pure incorruttibile, e per questo il mondo non aveva avuto un inizio. Questo era contro la fede, che parla di inizio del mondo. Tommaso cercò invano di spiegare che Aristotele parlava di generazione, non di creazione, e che dal suo punto di vista aveva ragione: non si può dimostrare che il mondo abbia avuto un inizio, lo si sa solo per fede. Mi sembra invece che il discorso di Aristotele permetta di capire quello che noi chiamiamo postulato empirico del caso. Se trucco il dado, vedrai che verrà più spesso la faccia prevista. L'inimicizia di molti teologi verso Aristotele era nata perché dire che Dio non può fare cose contraddittorie sembrava un porre limiti alla sua onnipotenza.