Centro San Domenico

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Bologna, 9 novembre 2016

Agli amici degli

Incontri Interdisciplinari

Carissimi,

ci rivedremo lunedì 21 novembre, alle ore 21, presso il Convento San Domenico, che ci ospiterà nella sua “sala rossa”, cui si accede da Via San Domenico 1.

L’argomento di quest’anno è:

“Sapere è potere... o ci sono dei limiti?”

La tesi di Francesco Bacone coinvolge problemi etici, appellandosi però alla scienza. Si è perciò deciso di partire dai limiti che la scienza incontra anche da un punto di vista teorico. Abbiamo iniziato riflettendo sul “limite matematico”. Proseguiremo riflettendo su:

“indecidibilità: matematica-formale o anche nella realtà?”

Ci guiderà il prof. Jaime Julve Pérez, che ringrazio a nome di tutti.

Un cordiale saluto in attesa di rivederci.

fra Sergio Parenti O.P.

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Breve resoconto dell'Incontro Interdisciplinare del 21 novembre 2016

A cura di fra Sergio Parenti O.P.- versione corretta

JULVE – Si è parlato dei limiti. Nel senso matematico il limite è oggetto di tendenza. Io mi fermerò sulla questione dei limiti della scienza nella sua pretesa di essere descrittiva del mondo e tendente a lasciare sempre meno spazio ai modi di descrivere che non siano strettamente scientifici. Il mio obiettivo è rivendicare la dignità intellettuale della fede. C'è una corrente per la quale tutto ciò che non è scienza è senza senso, e “ateo” è più scientifico. Tale affermazione è a-scientifica.

Poi c'è la contrapposizione tra il reale e l'immaginato o solo pensato. Il mondo scientifico tende a descrivere come reale quello che invece è raggiungibile dai metodi della scienza.

Prendo spunto dal recente lavoro di T.S. Cubitt e collaboratori: “Undecidability of the spectral gap”: un sistema fisico dove manca la risposta, che non è decidibile. Questo è importante. Nel programma di problemi da risolvere che Hilbert proponeva agli inizi del secolo scorso, vi era la dimostrazione della completezza della logica e della matematica: di ogni proposizione dotata di senso si deve poter dimostrare che è vera o falsa. Gödel nel 1931provò che in ogni sistema logico formale, cioè insieme finito di assiomi e di regole di derivazione dei teoremi, che abbia almeno la complessità dell'aritmetica, ci sono sempre proposizioni dotate di senso che sono vere, ma la cui verità e falsità è indecidibile con le regole e gli assiomi del sistema. Questo teorema fornisce anche il metodo costruttivo per trovare queste proposizioni indecidibili. Tali proposizioni gödelliane le indichiamo con “G”. Altri studiosi dimostrarono che queste proposizioni sono più numerose di quelle decidibili, in senso non banale e non solo perché le cavolate che si possono dire sono più numerose delle cose assennate. Questo risultato pone uno stop al sogno antico della onnipotenza della logica e della ragione umana.

Precisiamo il risultato di Gödel. Con n assiomi io posso costruire sempre una proposizione non decidibile sulla base di questi assiomi. Aggiungo un nuovo assioma che ne stabilisce la verità o falsità. Ma allora posso costruire una nuova proposizione gödelliana … e così via all'infinito.

SARTI – C'è una spiegazione molto bella nel libro di Hofstadter.

JULVE – Io sono un fisico matematico, non uno specialista di Gödel. La spiegazione per me migliore è nel libro di Penrose “La mente nuova dell'imperatore”. Ma non è facile comprendere: occorre studiare e tornare a studiare. Questo vale anche per il testo originale di Gödel. Analogo discorso potremmo farlo per Wittgenstein, che appartiene all'ambito culturale del Circolo di Vienna. Io lo ritengo un predecessore di Gödel. Scrisse il famoso “Tractatus logico-philosophicus”. Si occupa della logica del linguaggio e alla fine egli chiama “dire” o “parlare di”, l’affermare tramite dimostrazione argomentativa, contro il semplice “mostrare”, enunciare, anche se in maniera comprensibile o dotata di senso, ma senza dimostrazione nota. Il senso del mondo, l'insieme dei fatti che si possono osservare o dedurre, deve essere fuori di esso. Anche il costrutto logico del linguaggio lo si pone fuori del linguaggio. Infine c'è la frase famosa: di ciò di cui non si può parlare si deve tacere.

Quale collegamento tra la nostra capacità di dedurre un risultato e la capacità di calcolarlo di un computer? Ogni ragionamento logico e matematico si può trasporre in un programma di computer. Questo è accettato ormai da quasi tutti (tesi Church-Turing). L'approccio fu fatto da Alan Turing quando gli Alleati cercarono di decrittare il codice con cui i tedeschi comunicavano con i sommergibili. Egli costruì una logica del linguaggio che si poteva dare da trattare ad un computer e così riuscirono a decrittare il codice segreto.

Turing descrisse quella che venne chiamata da allora la “macchina universale di Turing”, che lavora scrivendo su un nastro. Il problema della fermata del processo, cioè di avere un risultato in un tempo finito, restò un problema: non si trovarono le condizioni necessarie e sufficienti. Il problema della computabilità è equivalente al problema del poter dedurre nel senso logico formale di Gödel o, se vogliamo, nel contesto della logica del linguaggio di Wittgenstein.

Dati questi punti di partenza vi presento alcune gödelliane. Alcune lo sono in senso rigoroso, altre no, ma rendono l'idea. C'è il paradosso del mentitore, che lavora sul principio del terzo escluso; poi c'è quello di chi dichiara che non ci sono certezze, che non esistono proposizioni vere. Poi c'è il “giudice bloccato”, che dice: “se dici il vero, passi; se dici il falso, ti impicco” e si sente rispondere: “Tu mi impicchi”. Questi sembrano giochi di parole, ma esistono casi più sostanziosi, anche se meno accessibili alla divulgazione.

Uno abbastanza accessibile è quello del quinto postulato di Euclide: per un punto fuori da una retta passa una e una sola parallela alla retta data. Gli sforzi per dimostrarlo sulla base degli altri quattro fallivano. Si decise che passasse una sola retta: si trova la geometria euclidea. Ma se decidessimo che non passa nessuna parallela, possiamo costruire una geometria assiomaticamente consistente, che si chiama ellittica o riemanniana (la retta è un cerchio massimo su una superficie sferica). Se decidiamo che ne passano infinite, abbiamo la geometria iperbolica di Lobačevskij, che si può visualizzare su una superficie a sella di cavallo.

Un altro esempio è il paradosso di Russell. “Normale” è un insieme che non contiene se stesso come elemento, “singolare” è un insieme che non è normale. Un insieme non può essere allo stesso tempo normale e singolare. Però che dire dell'insieme di tutti insiemi normali? Lì si inceppava il discorso. L'unica era negarne l'esistenza.

Quale ricaduta hanno questi esempi sulla fede, sulla religione, ma anche sulla comprensione della natura che ci circonda?

Quando Gödel enunciò i suoi teoremi, uno avrebbe potuto dire che questi sono problemi formali, che riguardano la matematica, mentre il mondo reale è un'altra cosa, non è indeterminato, è decidibile: il mondo non può essere arbitrario e indecidibile. L’anno scorso Cubitt e collaboratori hanno presentato invece una situazione di interesse in fisica che non è calcolabile nel senso di Turing.

Di fronte all’insistenza di alcuni nello sminuire il significato di questo ritrovamento, io e altri abbiamo reagito. Uno non può dirsi scienziato e negare il vincolo tra la matematica ed il mondo reale, vincolo che viene da Galileo, che ci disse che la natura è scritta in termini matematici.

Nemmeno si può dire che la scienza un giorno sarà capace di spiegare il mondo, perché così facendo la scienza non parla del mondo, ma di se stessa. Quando si entra nel discorso autoreferenziale la corrispettiva formulazione logico-formale cade nell'ambito delle proposizioni gödelliane: il sistema è incompleto, inconsistente.

Veniamo al lavoro di Cubitt e dei suoi collaboratori. La rivista Nature ha pubblicato un breve riassunto, ma il lavoro esteso (oltre 140 pagine) è disponibile in internet. Ma sono pagine tremende da capire. Premetto che non le ho lette. Posso dirvi che cosa riesco a capire.

Il sistema fisico è un sistema di materia condensata: la si concepisce come una rete. Pensiamo ad un metallo, che è più semplice. Esso è un reticolo tridimensionale dove nei nodi stanno i nuclei, e attorno svolazzano gli elettroni. Essi sono vincolati ai nuclei, oppure volano liberamente e abbiamo la corrente elettrica (si parla di elettroni nella banda di conduzione, altrimenti nella banda di valenza). La proprietà fisica che ci interessa è lo spin: piccole trottoline, piccole calamite, piazzate nei nodi del reticolo. Per semplificare la complessità matematica pensiamo ad un reticolo a due dimensioni (con l per l nodi dove piazziamo l'oggetto fisico che abbia uno spin, cioè la piccola calamita). Un reticolo non infinito, altrimenti non è computabile.

L'operatore quantistico che descrive l'energia del sistema si chiama “hamiltoniana”: in qualche modo è la somma delle energie di ogni singolo nodo ed più l'energia di interazione tra un nodo ed i nodi che stanno attorno. Per semplificare il modello, si considera l'interazione solo con i nodi prossimi, compresi quelli in diagonale. C'è qualche altra ipotesi semplificatrice, di quelle normalmente in uso nella fisica dello stato solido.

Si cerca di calcolare la differenza (“gap”) tra l'energia minima del sistema nello stato fondamentale ed il primo livello eccitato di energia. Questa differenza in un sistema reale può essere nulla o quantizzata e allora va a gradini. I sistemi di stato solido si dividono in sistemi senza gap (gapless) oppure con gap finito.

Per calcolare il gap su questo modello si usa il computer: dopo un tempo finito la macchina di Turing si ferma e dice il risultato. Ma a me interessa il sistema reale, molto grande. Come fare? Un computer non lavora su un sistema infinito.

Proviamo allora a vedere cosa succede ingrandendo il sistema finito, aggiungendo un atomo alla volta (in pratica aggiungiamo una riga ed una colonna al modello), e vediamo cosa succede. Poi proviamo a vedere quale sia il limite quando l tende all'infinito. Il problema è che il calcolo diventa intrattabile. Il sistema non è calcolabile. Inoltre il problema c'era anche quando si procedeva per valori piccoli: aggiungendo una colonna o una riga il risultato non ha nulla a che vedere col risultato precedente. Mandando all'infinito, la macchina di Turing non si ferma: il sistema non è algoritmicamente calcolabile. Dal punto di vista logico formale il sistema è indecidibile.

Si potrà obiettare che il sistema è semplificato. Ma se in un caso semplice ci si trova di fronte alla indecidibilità, come pretendere che in una situazione più complicata, con meno semplificazioni, a tre dimensioni, con altre variabili fisiche, si ottenga un risultato finito?

CASADIO – E se aveste usato un computer quantistico invece della macchina di Turing?

JULVE – Non lo so. Ma temo che si complicherebbe ulteriormente. Le mie conclusioni sono che il messaggio sulla decidibilità del mondo, senza spazio a interpretazioni trascendenti, sia falso, ideologico e fideistico. C'è lo spazio, come dice Wittgenstein, per ciò che è fuori dal mondo. Uno può accettare la fede come scommessa, come dice Pascal. L'ateo dice “Dio non esiste”: questo non lo si può provare. Si può essere solo agnostici.

SARTI – L'idea di una conoscenza non definita è quella di Severino e di altri filosofi veneziani.

FRATTINI – Severino fa affermazioni nette, dice che tutto è apparenza, ma a chi appare? Alla fine ho l'impressione che si vada oltre il decidibile.

CASADIO – Volevo sottolineare due cose. Appena uscito l'articolo su Nature, qualcun altro ha rivendicato la paternità della scoperta... Poi leggo questo limite come limite dei modelli che utilizziamo: per questo domandavo che cosa poteva succedere usando un computer quantistico invece della macchina di Turing. Sono convinta che i nostri limiti nell'interpretare il reale dipendano spesso dai limiti dei nostri modelli. La meccanica quantistica è una chiave di lettura fondamentale, ma non è detto che sia l'ultimo modello che potremmo inventarci. Mi chiedo quanto la realtà corrisponda ad un modello ottenuto perturbando il reale. Quanto all'ultimo dei tuoi commenti ho una dicotomia totale: faccio lo scienziato e credo. Non ho la pretesa di arrivare in fondo: ritengo che ci sia dell'altro, che rimane al di fuori, perché credo. Come fisica sono portata a partire dalle evidenze sperimentali per arrivare a dei modelli; non faccio un dramma della limitatezza della nostra scienza: faccio domande, ottengo risposte che aprono altre domande. Non avendo un “credo scientifico”, il limite è implicito nel nostro formarci modelli interpretativi. Noi siamo limitati.

JULVE – Un computer quantistico ha infinite possibilità tra 0 e 1. La realtà è quantistica: probabilmente il calcolo quantistico non troverà indecidibile questo problema. Però c'è la logica binaria, quella basata su vero o falso, ed i risultati di Gödel non sono banali. Applicata a questi modellini, anche se essi non riflettono quello che è la materia, si trova in una situazione non decidibile. L'intuito mi dice che anche nel contesto quantistico si troveranno problemi simili.

La mia presentazione vuole arginare la pretesa arrogante ed invadente di chi sostiene che prima o poi la nostra ragione spiegherà tutto e che non c'è bisogno, come diceva Laplace a Napoleone, della ipotesi “Dio”. Non avremo una prova definitiva scientifico-logico-formale della esistenza di Dio, ma nemmeno della tesi opposta.

SARTI – La volta scorsa abbiamo parlato della prova dell'esistenza di Dio: un essere al di fuori del mondo fisico. Bellissimo! perché il mondo fisico è essenzialmente indecidibile e Gödel ci dice che l'indecidibile è molto più del decidibile. Ma ci troviamo con una situazione come quella dei filosofi come Severino, che non si pronunciano perché il pronunciarsi o meno non rientra nel mestiere del filosofo. Non pretendiamo dalla razionalità, dalla computabilità razionale, ciò che compete ad un altro settore.

CASADIO – La realtà è matematica? La coscienza è matematica e computabile? Esistono le leggi di natura o sono nostri modelli interpretativi di ciò che osserviamo?

JULVE – Ritengo che la visione scientifica sul mondo non sia l'ultima parola sul mondo. Un computer classico basato sulla logica binaria si trova in queste difficoltà, ma un computer quantistico forse no. Questo sposta il problema. La teoria quantistica non è definitiva, ha tante difficoltà interne di consistenza, è un'altra approssimazione alla realtà. Anche il computer quantistico prima o poi dovrà fare i conti con altre limitazioni. La realtà è sempre più in là dei nostri costrutti.

FRATTINI – Anche le teorie quantistiche nascono da un'esperienza. Se si passerà ad altro, che cosa potrebbe essere questo altro?

SARTI – Non uno strumento tecnico-scientifico.

CASADIO – Si cerca un modello unificante, ma della materia non conosciamo tutti i dettagli. Poi c'è lo spunto di come mettere in relazione l'aspetto religioso coll'essere scienziati. Per me la scienza ha dei limiti e non ne faccio un dramma. Volevo sapere la sua posizione.

JULVE – I nostri modelli arrivano dove arrivano: il grande pericolo è debordare i limiti di applicazione di una teoria. Il mondo classico arriva fin dove arriva: poi abbiamo inventato la relatività e la teoria quantistica, ma questi arrivano fin dove arrivano, oltre c'è la natura che è sempre più in là.

PARENTI – Fortini diceva che c'è contraddizione fra relatività e quantistica.

FRATTINI – Bisogna capire. Per il macro va bene la relatività, per il micro va bene il quantistico. Per me sono due facce della stessa medaglia che non siamo riusciti ad unire.

JULVE – La proposta unificatrice sarebbe quella delle stringhe. Solo che ha due grossi handicap. Uno: richiede che le dimensioni dello spazio-tempo siano dieci o undici, dipende dai modelli, e non c'è evidenza di dimensioni oltre le quattro note. Due: è supersimmetrica: per ogni particella elementare c'è la sua compagna di parità (per l'elettrone l's-elettrone, per il fotone il fotino, ...), che però non abbiamo mai visto. Ma anche se tutto ciò venisse confermato, le dimensioni extra sono qualcosa di sbalorditivo. Inoltre la teoria sarebbe “teoria del tutto”, deve rendere ragione di tutto: e ci sono una ventina di parametri empirici nel modello standard che la teoria non spiega. Siamo in alto mare. Ci vuole umiltà.

PETERNOLLI – Ma da dove viene l'intelligenza, che cerca di spiegare i fenomeni? Sul Sole 24 Ore è apparso un articolo la settimana scorsa (13 novembre) in cui uno scienziato, Giulio Tononi, dice che anche se riuscissimo a spiegare tutto delle sinapsi e dei neuroni, l'esistenza della coscienza resta il più profondo di tutti i misteri scientifici. La coscienza è a portata di mano, però anche se uno costruisse il computer più perfetto, capace di imitare quanto la coscienza può fare, esso non avrebbe la coscienza: Schrödinger direbbe che sarebbe una recita, perché fare non è essere, ed essere è essere coscienti. Un indizio della non spiegabilità di tutto con le leggi fisiche, chimiche ecc., è il fenomeno della coscienza.

CASADIO – Tononi propone comunque un modello di coscienza riconducibile ad una macchina. Bisogna capire che cosa si intende per “coscienza”.

PARENTI – Mi sembra che si mescolino due problemi. Uno è quello della riduzione ad artefatto della realtà naturale, di cui abbiamo parlato tanto. Giustamente il prof. Tononi dice che la coscienza deve venire dal di dentro, mentre nell'artefatto la capacità d'agire viene dal progetto dell'artefice. L'altro problema mi fa venire in mente la crisi di Pitagora, che credeva di poter ridurre tutto a numeri naturali o loro rapporti, ma la scoperta delle grandezze incommensurabili, dovuta al teorema di Pitagora, lo mise in crisi. Questa sera Jaime ci ha presentato una nuova crisi del pitagorismo. Il pitagorismo fu recuperato da Platone, che, invece di usare l'aritmetica, usò la geometria, evitando il problema del continuo. Aristotele fece una fisica tale che non era necessario sapere la geometria per capirla, pur ammettendo esplicitamente anche la fisica matematica. La fisica di Aristotele fu rifiutata da chi accetta la creazione come azione libera, di amore, di Dio, cioè dagli ebrei, dai musulmani e dai cristiani, perché secondo loro la fisica di Aristotele portava a concepire la creazione come una emanazione, come dal sole emana luce e calore: allora io non potrei più dire che Dio mi ama, mi ha scelto. Quindi bisognava tornare a Platone, al Timeo. Lo si corregge però: Dio crea la materia informe, e poi, come il Demiurgo, la plasma come vuole. Anche gli atei continuano ad insistere su questo modello: nella loro testa si contrappongono a teologi che usano lo stesso modello. Poiché però rispettavano Aristotele come logico, cercarono di interpretare la sua logica come calcolo, privilegiando la logica formale, soprattutto come calcolo matematico. Furono Roberto Grossatesta e Ruggero Bacone i principali, contro Tommaso e Alberto Magno. Noi oggi continuiamo a seguire quel modello, attribuendolo a Galileo, e trascurando tutta la lotta culturale che ci fu prima. La riduzione a calcolo del ragionamento non c'entra assolutamente niente con quello che Tommaso chiama scienza. Noi continuiamo a usare il modello di res extensa per dire che non basta e ci vuole una res cogitans... Anche questo non c'entra assolutamente niente. La computabilità non è il ragionamento. I limiti di Gödel riguardano la computabilità, non il sillogismo faciens scire di Aristotele. La logica formale non mi dà l'evidenza della conclusione, ma della correttezza con cui la ottengo: fai un atto di fede rispetto alla verità della conclusione, perché sai che tutti i passaggi sono stati fatti correttamente. Sono cose diverse. Il computer trasforma una stringa in un'altra. Aristotele invece voleva passare dal “sapere che” dell'esperienza al “saper perché”, ma sempre basato sull'evidenza.