Centro San Domenico

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Bologna, 6 novembre 2017

Agli amici degli

Incontri Interdisciplinari

Carissimi,

ci rivedremo lunedì 20 novembre, alle ore 21, presso il Convento San Domenico, che ci ospiterà nella sua “sala del fuoco”, cui si accede da Via San Domenico 1. (Attenzione: il locale non è più quello dello’anno passato!)

Nella scorsa riunione abbiamo scelto l’argomento generale della nostra ricerca. Speriamo possa interessare e coinvolgere tutti. L’argomento è:

“La modellizzazione matematica della natura e della materia: è sufficiente?”

Ci introdurrà Jaime Julve, che ringraziamo a nome di tutti.

Un cordiale saluto in attesa di rivederci.

fra Giovanni Bertuzzi O.P.           fra Sergio Parenti O.P.

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Breve resoconto dell'Incontro interdisciplinare del 20 novembre 2017

a cura di fra Sergio Parenti O.P.

JULVE – Non intendo fare una lectio, ma un discorso semplice ed anche molto personale, dove non posso citare da chi ho preso le idee. Un breve percorso storico dovrebbe partire dai pitagorici: il numero come base di tutto. Galileo dirà che il libro della natura è scritto in lingua matematica, almeno il mondo materiale. Laplace dirà che se una mente potesse tener conto di tutte le forze della natura, della posizione e velocità delle particelle che la compongono, per questa mente niente sarebbe incerto ed il futuro come il passato sarebbe presente ai suoi occhi. Alla domanda di Napoleone di quale fosse il posto di Dio in tale contesto, rispose che non aveva bisogno di questa ipotesi.

La matematica e le evidenze sperimentali sono evolute. Eugene Wigner, che partecipò al progetto Manhattan della bomba atomica, si meravigliava della funzione della matematica. Einstein riconosceva che i nostri modelli matematici sono semplificazioni della realtà, altrimenti sarebbero troppo difficili da maneggiare. Quindi la realtà è più complicata.

FRATTINI – Ci si dimentica dei postulati. Ad esempio il punto deve essere perfetto.

JULVE – La matematica è un linguaggio logico, formalizzato, trattabile ed universale, che permette di fare rappresentazioni della realtà. Certi sviluppi formali della matematica hanno portato anche a mondi autonomi dalla realtà, senza applicazioni per risolvere problemi concreti della fisica. Si è scoperto (Gödel) nella prima metà del XX secolo che anche la logica formalizzata è incompleta, perché ci sono sempre proposizioni indecidibili. L'aspetto più pratico è quello del calcolo numerico affidabile ai computers: qualsiasi problema logico-matematico, ma anche di logica aristotelica, può essere formulato in forma di algoritmo da affidare ad una macchina di Turing. Ci sono algoritmi che non hanno soluzione: è il problema dell'halting. Ci sono algoritmi per i quali la macchina non si fermerebbe mai. Siamo umili! Anche la logica formale affidata ai computer si trova di fronte alla indecidibilità.

Acquisita questa incompletezza, ho lasciato un piccolo spazio per l'esistenza di mondi matematici non richiesti dalla fisica. Nel terreno della decidibilità ci sono cose molto interessanti: per esempio le geometrie non euclidee. Il nostro intuito funziona con la geometria euclidea, ma che cosa succede se per un punto fuori da una retta non passa nessuna parallela? O se ce ne sono infinite? Per l'intuito educato alla geometria euclidea questo è assurdo. Ma che cosa succede sulla carta? Formalmente il costrutto che viene fuori esiste. E la storia ha voluto che le geometrie riemanniane abbiano trovato applicazione in natura: tutta la relatività generale che descrive la gravitazione come curvatura dello spazio-tempo. I numeri complessi sembravano qualcosa di fantastico, staccato dalla realtà. Non è vero. In campo elettrotecnico, dovunque ci sia periodicità di tipo circolare, si ha un'applicazione della teoria delle funzioni complesse. Ma l'apoteosi è la teoria quantistica, basata sul campo dei numeri complessi.

Ci sono situazioni che ancora sono ancora puramente matematiche, senza correlazione con la realtà. Un esempio è il fatto che possano esserci affermazioni matematicamente corrette ma indimostrabili. Chissà che mondi possono esserci dietro? Io non riesco neanche ad immaginarli. Un esempio sono i frattali e gli insiemi di Julia e Mandelbrot. Per me è una delle meraviglie della matematica. Prendo un numero complesso z sub indice n; prendo un altro numero complesso c costante, prendo (z²+c) sub indice n+1; prendo questo nuovo numero, lo elevo al quadrato e aggiungo c, ottenendo n+2 … Questi punti che ottengo li metto sul piano complesso. Mi domando: questa successione converge ad un limite determinato oppure scappa all'infinito? A seconda della velocità – diciamo - di fuga verso l'infinito o non fuga, assegno un colore, per poter trattare col computer. Ne viene una struttura con forma di cuore con rami e sotto-rami, infinitamente ricca e variegata. Sono mondi squisitamente matematici che, secondo me, farebbero la delizia di Platone. Ci sono cavolfiori che hanno una struttura così, a spirale, che, guardando con la lente, vedi che si riproduce, ma poi ti fermi. Invece i frattali sono infinitamente dettagliati: non ti fermi mai. Sono mondi matematici.

BERTUZZI – I frattali sono stati usati per misurare, ad esempio certe coste.

JULVE – Fino ad un certo livello di ingrandimento. Ma la domanda è: qual è la lunghezza di una costa e qual è la lunghezza di una linea frattale? Allora si apre un nuovo ramo della matematica: la dimensione di Hausdorff. Ci sono diversi ordini di grandezza per queste cose. Una linea ha dimensione 1, una superficie ha dimensione 2, le dimensioni di Hausdorff prendono valori intermedi. La matematica ci riserva queste “realtà” gedanken, si direbbe in tedesco. Ma il tema di oggi era: matematica e realtà. Vorrei introdurre questo discorso con Wittgenstein: per quanto ne so, è il primo filosofo logico che abbia messo nero su bianco sulla questione del rigore della lingua. Anche Aristotele cercava il rigore del ragionare. Fin dove può arrivare questo tipo di rigore? Nel suo Tractatus logico-philosophicus definisce il mondo – la realtà esterna di cui parliamo – come costituito da cose e fatti. Il contenuto di verità delle cose che possiamo dire risiede nei principi, nei postulati: tutto il resto è deduzione logica, rigorosa, ma non aggiunge contenuti di verità. Di conseguenza tutto il resto è tautologia. Di conseguenza, se il mondo ha una spiegazione, essa è fuori dal mondo: è una porta aperta alla trascendenza (come in fondo fa Gödel: ci sono questioni indecidibili). Quando si è detto tutto ciò che si può dire, cioè dedurre logicamente, le cose principali e veramente importanti sono rimaste fuori. Per i credenti: il divino.

Vediamo luci ed ombre: i limiti ed anche i successi. L'ipotesi riduzionista, che è il contesto nel quale stiamo lavorando, è che la natura si possa ridurre sempre a leggi fondamentali, semplici ed in numero finito. Avere un numero infinito di principi della fisica significa non avere niente, non avere capacità predittiva. Proprio perché devono essere semplici, ci vogliono delle idealizzazioni, come il punto materiale per Newton: queste semplificazioni sono indispensabili per poter formulare le leggi matematicamente ed anche per poter fare i conti. L'attrazione tra le masse viene rappresentata come tra masse puntiformi. Ma una massa m, se la prendessimo sul serio, se fosse puntiforme avrebbe densità infinita... Bisogna stare attenti alle idealizzazioni.

Vediamo la parte positiva. Modelli così costruiti hanno avuto successi notevoli. Prendiamo la navigazione spaziale col cosiddetto gravitational swing: mandi una navicella a fare il giro della Luna: il campo di gravitazione della Luna le dà una spinta che la manda verso Marte dove avviene la stessa cosa, mandando la sonda verso Giove con una velocità che con un motore a razzo non avrebbe potuto avere. Questo vuol dire che si riesce a fare una navigazione spaziale con una precisione sbalorditiva, e lo si fa grazie alle equazioni di Newton.

Un altro esempio, che sta sicuramente a cuore a Wigner: il momento magnetico bipolare anomalo dell'elettrone: la grandezza fisica che si riesce a misurare con maggior precisione negli acceleratori, con circa 8 o 9 cifre decimali. E c'è uno strumento di calcolo fisico, la teoria quantistica dei campi o elettrodinamica quantistica, che riesce a calcolare questa cifra e fare una predizione che coincide fino alla nona cifra decimale. C'è una precisione che non può essere un caso: dunque l'elettrodinamica quantistica qualcosa di verità è riuscita ad afferrarla.

Questi successi non ci devono illudere di aver veramente afferrato fino in fondo un lembo di verità. Nel calcolo dell'esempio fatto, si sono fatte delle approssimazioni: abbiamo considerato l'interazione elettrone-fotone, ma abbiamo ignorato che ci sono anche scambi di quark, ci sono l'interazione nucleare debole e forte che a cifre decimali più avanti entrano in gioco... Il valore reale sperimentale non può coincidere con la predizione dell'elettrodinamica quantistica.

I modelli della realtà hanno sempre una applicabilità limitata e presentano problemi ed insufficienze, che in situazioni limite portano ad assurdi, come quello della massa puntiforme. Non possiamo pensare ad una carica più piccola di quella dell'elettrone, carica che non è divisibile, ma se pensi l'elettrone come un punto, la carica finita concentrata in un punto diventa una densità di carica infinita, e questo ci porta a problemi matematici molto grossi. Anche la gravitazione newtoniana è valida solo per campi gravitazionali deboli e quasi statici, che non varino rapidamente nel tempo; la relatività speciale prende posto dove la teoria di Newton incomincia a non funzionare, a velocità elevate: ma, anche se per ora non ne conosciamo eccezioni, non riusciamo a sposarla con la teoria quantistica.

Queste equazioni e principi, semplici da scrivere sulla carta, trovano difficoltà di fronte alla complessità. Con tre masse o con il sistema solare la legge della gravitazione diventa non applicabile. Occorre allora fare semplificazioni: consideriamo la Terra ed il Sole considerando la perturbazione dovuta a Marte o Venere come una perturbazione della situazione di partenza: ci sono tecniche matematiche approssimate che consentono di fare i conti, ma ci rassegniamo a fare approssimazioni. Con la realtà vera tutte le teorie cominciano a mostrare le loro debolezze.

Vista la situazione, si capisce la frase di Einstein, che dice che finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, allora non sono più certe, nel senso di esatte, mentre quando vogliamo trattare con esattezza le equazioni, allora non rappresentano più la realtà. Una mappa geografica, politica o economica esatta della Cina sarà la Cina stessa: qualsiasi altra semplificazione sarà parziale.

Per sposare la relatività einsteiniana con la teoria quantistica, salta fuori la teoria quantistica dei campi, che ha avuto un successo clamoroso, come quello del momento magnetico bipolare anomalo dell'elettrone; ma ha anche altre difficoltà, perché saltano fuori degli infiniti, ad esempio per via dell'energia potenziale dell'elettrone nel suo stesso campo elettrico. Per rimediare a diversi problemi si sono introdotte altre teorie, come la super-simmetria. Ma saltano fuori altre difficoltà. Seguendo la strada di superare le difficoltà, siamo arrivati alla teoria delle stringhe. Ma, circa la teoria delle stringhe, che è candidata ad essere la “teoria del tutto”, abbiamo in tempi recenti capito che ci sono almeno 10 alla 500 teorie, consistenti e diverse, delle stringhe... Questo viene a rapportarsi col fatto che l'universo che conosciamo, che contiene la vita e noi, ha una ventina e più di costanti fisiche universali, talmente sintonizzate da consentire l'emergenza della vita e dell'intelligenza (se la gravitazione fosse poco più intensa non ci sarebbe stato il tempo per l'evolversi della vita, così per l'intensità delle forze elettriche ecc.). La probabilità che i parametri basici universali dell'universo, empirici, abbiano proprio il valore che ha consentito la vita è estremamente piccola, dell'ordine di 10 alla meno 500.

In poche parole, l'unica presunta teoria matematica consistente, che abbiamo, è incapace di dire qualcosa di concreto sul nostro universo, che è quello che ci interessa. Sono teorie di scarso valore scientifico: di scarsa possibilità di essere falsificate (se una teoria non è vera, lo sarà un'altra). C'è la via di fuga degli universi paralleli (teorie del multiverso), ma è, secondo me, cervellotica: c'è il rasoio di Ockham.

FRATTINI – Per la teoria delle stringhe c'è un certo dibattito: c'è il nulla... oppure si torna alla teoria delle stringhe.

JULVE – Concludo. La visione dei pitagorici proponeva un fondamento dell’intera realtà materiale e trascendente; mentre Galileo, da credente, si fermava al mondo materiale. Con Laplace e il materialismo scientista si mantiene l’ambizione e si nega persino la seconda. Invece, anche in piena era illuminista, si è fatta strada l’idea che possiamo aspirare solo ad avere modelli parziali e limitati della realtà. Al giorno d’oggi è difficile respingere l’idea che, nelle pieghe dell’incalcolabilità delle situazioni reali, nelle pieghe della complessità, del carattere empirico delle condizioni al contorno, dell’esistenza di proposizioni matematiche corrette ma indecidibili (potenziali modelli di possibili altre realtà), la Natura si riservi sempre la possibilità di sorprenderci con comportamenti o fenomeni nuovi, imprevedibili per le teorie vigenti. Occorre essere cauti, attenti ed umili. La matematica è meravigliosa ma altamente insufficiente per descrivere la realtà.

FRATTINI – Questa è una fotografia onesta di quello che c'è.

PARENTI – Una volta un matematico mi disse che siamo noi a porre l'ordine che crediamo di trovare. Mi fece l'esempio del pavimento alla veneziana. Noi sappiamo che il pavimentatore ha gettato a caso le pietruzze che poi ha lucidato. Ma, disse, “se io fossi un matematico abbastanza bravo, potrei trovare la formula che descrive l'ordine delle pietruzze del pavimento. L'ordine era nella realtà o l'ho messo io?”.

FRATTINI – La matematica è un ottimo strumento di descrizione.

JULVE – Ma non di spiegazione.

FRATTINI – Descrizione però abbastanza efficace da poter fare anche certe predizioni. Senza lo strumento matematico non si potrebbero fare certe costruzioni incredibili, alte centinaia di metri.

JULVE – Io ho presentato una situazione un po' frustrante. Se volessimo, potremmo cantare le lodi della matematica.

DE RISO – Il numero non è solo astrazione, ma lo vedo come contrario a ciò che è reale. Nel numero non abbiamo la realtà, anche se presume di definire la realtà. Due è più di uno? Che cosa significa “più”? Avere due papà non è meglio di averne uno. Noi usiamo i numeri per le misurazioni a nostro uso, ma non dobbiamo pensare che quello che abbiamo costruito sia reale. Poi non vedo una distinzione tra empirico e trascendente. In ciò che tocchiamo e misuriamo c'è già qualcosa di trascendente. Possiamo pensare di poterci avvicinare a qualcosa, sapendo che in essa c'è qualcosa di più, come nell'esempio della Cina.

JULVE – Proponevano che sostanza e fondamento della realtà fosse il numero. Ma chi ha fatto il numero? Sono categorie che appartengono al contingente, ci vuole un principio esterno che garantisca la continuità dei principi fondamentali. Il trascendente in questo senso è dappertutto. Ma dobbiamo essere consapevoli che ci stiamo limitando a categorie ben definite. Il trascendente permea tutto.

BERTUZZI – Mi interrogo sulla natura della matematica in rapporto alla realtà. Bertrand Russell diceva che la matematica (i numeri) è l'altra faccia della logica (le classi). Entrambe sono costruzioni mentali. Hanno una loro legalità, altrimenti i conti non tornano più. Un principio comune è la transitività dell'uguaglianza, trasferito nella logica del sillogismo (se due termini sono convertibili con un terzo, sono convertibili tra loro). Applicando questi principi abbiamo fatto cose meravigliose. Ma guardando le foto delle galassie penso che la realtà sia qualcosa di irriducibile a semplici leggi matematiche. La matematica, per Tommaso d'Aquino, serviva a misurare non la realtà nella sua totalità, ma quell'aspetto che è la quantità di essa. Il rettangolo non è il tavolo, ma il tavolo è rettangolare. Oggi si pensa che la matematica abbia un'applicazione più estesa della misurazione dell'aspetto quantitativo della realtà, ma sia una costruzione di relazioni.

FRATTINI – Anche la misurazione è una relazione.

BERTUZZI – Però nella concezione classica, di S. Alberto Magno, la matematica era, come astrazione, intermedia tra la fisica e la metafisica. Come la realtà non è riducibile all'aspetto matematico, così la matematica non è riducibile all'aspetto quantitativo della realtà.

JULVE – Non è riducibile al calcolo numerico. Ci sono anche aspetti strutturali.

SCIRÈ – Galileo diceva che la natura era un libro scritto in lingua matematica. La realtà è qualcosa di diverso? La matematica è stata codificata ispirandosi alla natura ed alle sue forme e relazioni? La natura è materiale, la realtà può anche non essere materiale.

DE RISO – Si parte intendendo la natura, la materia, come qualcosa che riusciamo a comprendere. Invece la materia e la natura non sono quantificabili e basta. L'esempio della Cina è importante.

JULVE – Stai dicendo che in una goccia d'acqua ci sono tutti i segreti dell'intero universo. Ci credo. Il modo di descrivere è un modo per poter parlare ed intenderci. Occorre essere consapevoli che l'essenza ultima della realtà ci sfugge. La matematica è riduttiva e non può esprimere l'intera realtà, ma è il prezzo per poter avere una certa universalità delle cose che diciamo. La matematica viene capita da tutti, a differenza del linguaggio normale quando facciamo le traduzioni.