Centro San Domenico

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Bologna, 9 gennaio 2018

Agli amici degli

Incontri Interdisciplinari

Carissimi,

ci rivedremo lunedì 22 gennaio, alle ore 21, presso il Convento San Domenico, che ci ospiterà nella sua “sala del fuoco”, cui si accede da Via San Domenico 1. (Attenzione: il locale non è più quello dello’anno passato!)

Proseguiremo il dibattito su: “La modellizzazione matematica della natura e della materia: è sufficiente?”

Animerà il nostro incontro l’ing. Fabio Frattini. L’argomento sarà:

“Modelli matematici e le dimensioni del mondo reale”.

Un cordiale saluto in attesa di rivederci.

fra Giovanni Bertuzzi O.P.                  fra Sergio Parenti O.P.

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Breve resoconto dell'Incontro Interdisciplinare del 22 gennaio 2018

a cura di fra Sergio Parenti O.P.

FRATTINI – Mi limito nell'esposizione: l'importante è sapersi orientare in una problematica troppo vasta. L'argomento sarebbe modelli matematici e dimensioni nel mondo reale. In particolare: capire come il discorso della multi-dimensionalità si era introdotto. Riprendiamo dai modelli matematici, di cui parlammo in passato. Un modello cerca di stabilire una analogia tra il mondo reale e una sua rappresentazione. Per esempio si può fare un circuito elettronico per riprodurre le caratteristiche di un circuito idraulico. Si parla di modello matematico quando abbiamo una rappresentazione matematica di un certo comportamento. Un modello matematico si esprime con equazioni la cui soluzione ci offre la soluzione del comportamento reale. Ovviamente un modello non riproduce tutto il reale: abbiamo sempre una approssimazione, che è buona quando è accettabile. A volte l'analogia del modello la si considera come una metafora di qualcosa molto difficile da affrontare, a volte si esagera con la pretesa che questa metafora sia assolutamente vera: è il caso dell'intelligenza artificiale, pensando che potesse descrivere il cervello umano nel suo funzionamento. Volendo essere rigorosi, considerando i grandi progressi raggiunti, è inevitabile uno sviluppo di teorie che diano spiegazione o almeno la descrizione dei fenomeni stessi. Lo sviluppo dei modelli matematici di supporto ne è la logica conseguenza, per cui ad ogni teoria corrisponde un ben preciso modello matematico. Un grande sforzo di coerenza è necessario per tenere in piedi tutti gli aspetti del modello, che si presenta come una serie di equazioni. Si sono scoperte le leggi di una moltitudine di fenomeni, ma rileviamo che essi seguono leggi del tutto specifiche dell'ambito di cui si occupano e sembrano completamente slegate da altre leggi che reggono altri fenomeni fisici. La speranza dei fisici è trovare una teoria che sia in grado di spiegare qualsiasi fenomeno fisico, perché la realtà è una e una è la natura. Si cerca una teoria coerente con la natura, le cui equazioni rendano conto di qualsiasi fenomeno. La teoria dovrebbe descrivere le quattro forze – dette anche interazioni – fondamentali: elettromagnetismo, nucleare forte, nucleare debole e gravità.

Un primo tentativo di unificazione del campo gravitazionale, descritto dalle equazioni della relatività generale di Einstein, con il campo elettromagnetico, descritto dalle equazioni di Maxwell, fu elaborato dal matematico tedesco Theodor Kaluza nel 1919 e pubblicato nel 1921. La stessa teoria fu poi ripresa dal fisico svedese Oskar Klein proponendo, nel 1926, una soluzione agli originari problemi della teoria. Per questo essa si chiama “Teoria di Kaluza-Klein”. Alla fine dell'800 Maxwell formulò le sue famose equazioni sull'elettromagnetismo. Nel 1905 Einstein formulò la teoria della relatività ristretta e nel 1915 la teoria della relatività generale. A questo punto c'erano due sistemi di equazioni, uno che descriveva il campo gravitazionale e uno che descriveva l'elettromagnetismo: la speranza di trovare una legge di unificazione era forte. Einstein descriveva la gravità come una curvatura dello spazio-tempo: una spiegazione geometrica. L'elettromagnetismo non parlava di masse, aveva equazioni diverse. Kaluza ipotizzò una quinta dimensione spaziale, che però non era osservabile. Klein congetturò che essa fosse diversa dalle altre: non si estendeva all'infinito, ma era una dimensione “arrotolata”, che finiva compattata in uno spazio molto piccolo attorno ad ogni punto dello spazio-tempo tradizionale. Parlare di uno spazio compatto è un'operazione matematica ben precisa.

JULVE – Uno spazio compatto è uno spazio in cui il limite di ogni successione dello spazio appartiene allo spazio. Mentre l'infinito normalmente rimanda a fuori, come una retta, qui abbiamo come un cerchio.

BELARDINELLI – È una successione comunque costituita da un numero infinito di passi.

JULVE – La successione di 1/n, al crescere di n si avvicina allo 0 senza raggiungerlo mai; compattificando, invece, si aggiungerebbe lo 0 all'insieme.

FRATTINI – La compattificazione così proposta consente alla dimensione aggiuntiva (una dimensione spaziale che si aggiunge alle tre dimensioni spaziali ed alla dimensione temporale) di estendersi, a differenza di quelle ordinarie, su distanze finite. La congettura di Klein spiegava la non visibilità della dimensione aggiuntiva.

BELARDINELLI – Praticamente è un punto.

FRATTINI – Il punto però non ha dimensione. Nel nostro caso sarebbe di dimensioni paragonabili alla lunghezza di Planck: irraggiungibile ai nostri strumenti. Prendiamo questa figura, dove le dimensioni sono unificate in modo da avere uno spazio a due dimensioni.

L'aggiunta della dimensione compattificata rende lo spazio simile ad un tubo cilindrico che si estenda indefinitamente nei due versi della linea. Dal punto di vista topologico esso è omeomorfo ad un cilindro infinito in entrambi i versi. Omeomorfo è uno spazio che posso deformare senza strappi. Esso può essere immaginato immerso nello spazio ordinario. Una sua porzione finita è facilmente assimilabile ad un lungo tubo sospeso tra due rocce che, osservato da notevole distanza, appare ad occhio nudo come filiforme ed esteso in un'unica dimensione, la lunghezza. Solo osservato con uno strumento più potente dell'occhio, come ad esempio un binocolo, esso apparirà come una strisciolina, rivelando il suo spessore e la sua estensione in due dimensioni. Una persona che camminasse in equilibrio su un simile tubo, se molto sottile, sarebbe in grado di sperimentare con i piedi una sola dimensione: la lunghezza filiforme sotto di lui. Per contro, un essere di dimensioni confrontabili alla sezione del tubicino, un piccolissimo insetto ad esempio, sarebbe in grado di fare tutti i movimenti permessi dalla combinazione del movimento rotatorio intorno al tubo e di quello lungo il tubo. Grazie alle piccole dimensioni, sarebbe insomma in grado di sfruttare, e soprattutto di percepire, la bidimensionalità della superficie del tubo.

Allo stesso modo se noi potessimo rimpicciolirci a dimensioni paragonabili a quelle della distanza su cui è arrotolata (compattificata) la dimensione extra, riusciremmo a muoverci non solo nelle tre dimensioni spaziali a noi note, ma anche nella dimensione aggiuntiva in un modo che per il nostro cervello, avendo confidenza con l’usuale scala dimensionale, è impossibile da concepire.

Lo stesso ragionamento mostrato nell’esempio, per Klein, si può trasporre alla situazione riguardante l’ulteriore dimensione prevista dalla teoria. Un osservatore, trovandosi ad una scala estremamente più grande rispetto a quella in cui la dimensione possa essere percepita, riesce a vedere solo le tre dimensioni spaziali infinitamente estese. In questo senso si può dire che la dimensione extra è "nascosta" ai nostri sensi (o all’attuale strumentazione disponibile). Importante: l'esempio del tubo è solo un'approssimazione di uno spazio cilindrico bidimensionale indefinitamente esteso. Inoltre si tenga conto che, a differenza di quello dell'esempio, lo spazio immaginato da Kaluza con inclusa la dimensione aggiuntiva non è immerso in uno spazio esterno, ma rappresenta esso stesso tutto lo spazio, tutto l'universo esistente: non vi è alcun spazio esterno in cui un osservatore possa trovarsi a guardarlo. L'esempio precedente ha un limite: noi abbiamo visto l'osservatore del tubicino come esterno, mentre esso è dentro.

Questa teoria di Kaluza-Klein era comunque stata sviluppata in ambito classico e non teneva conto di alcuni aspetti della realtà osservabile, tra cui la quantizzazione della carica, cioè la possibilità di assumere solo valori discreti (aspetti quantistici). Dopo un primo interesse da parte dei fisici, per queste ragioni, il modello di unificazione a cinque dimensioni venne abbandonato.

Ma il desiderio di giungere a fondare una teoria unificatrice consistente (teoria del tutto) ha portato i fisici teorici a svolgere in quest’ambito estenuanti lavori che sono tuttora lontani dalla loro conclusione. Uno di questi studi ha portato, a cominciare dagli anni ’60, a sviluppare la cosiddetta Teoria delle Stringhe che ha recuperato la congettura delle dimensioni aggiuntive “nascoste” dell’universo.

Nella moderna teoria delle stringhe e nella contigua Teoria-M si ipotizza l'esistenza di sei dimensioni spaziali aggiuntive, compattificate non in semplici cerchi, sfere o ipersfere, ma nell'infinita varietà di forme topologicamente più esotiche e polimorfiche degli Spazi di Calabi-Yau compatti.

Una “varietà” di Calabi-Yau (e per “varietà” si intende uno spazio) è una varietà differenziabile a variabili complesse, con uno spinore armonico non nullo. L'applicazione principale delle varietà di Calabi-Yau è la fisica teorica, dove un modello della teoria delle stringhe postula che la geometria dell'universo sia nella forma M x V dove M è una varietà quadridimensionale (lo spaziotempo) e V una varietà di Calabi-Yau compatta a 3 dimensioni complesse (6 dimensioni reali).

La teoria delle stringhe sostiene che le extradimensioni sono arrotolate in figure a forma di spazi di Calabi-Yau associate ad ogni punto dello spazio-tempo. Gli scienziati hanno previsto decine di migliaia di possibili spazi di Calabi-Yau ammissibili dalla teoria delle stringhe; considerando che gli spazi potenziali candidati sono infiniti, si tratta di un gruppo molto ristretto.

Siamo tornati al discorso della teoria delle Stringhe, che dal 1960, a fortune alterne, ha coinvolto premi Nobel e una miriade di fisici e matematici di altissimo livello. Può avere una certa credibilità.

La teoria congettura che le particelle siano delle stringhe (cordicine) di dimensioni paragonabili alla lunghezza di Planck (con una certa accuratezza = m. 1,616 x 10^-35), dunque a noi invisibili, ma se potessimo arrivare a vederle le vedremmo come cordicelle in vibrazione, chiuse o aperte. Se sono aperte, la teoria dice che devono cadere sulla cosiddetta “brana” (da “membrana”): un oggetto matematico, nel senso che, nella rappresentazione matematica del mondo, sarebbe una superficie su cui si appoggiano gli estremi di una stringa aperta. Le stringhe chiuse non hanno questo vincolo.

Perché è nata la teoria delle stringhe? Per cercare l'unificazione dei fenomeni. Si voleva conciliare la meccanica quantistica con la teoria della relatività. La prima forma della teoria delle stringhe è stata quella bosonica, che però portava ad introdurre 26 dimensioni, e considerava solo i bosoni, non dotati di massa... Il passo successivo tendeva di utilizzare anche i fermioni, cioè la massa delle particelle più grandi. Alla fine, introducendo il concetto di supersimmetria e combinandola con le varie condizioni del mondo delle particelle, si svilupparono cinque teorie sulle superstringhe, che hanno 10 dimensioni.

JULVE – Il problema di queste teorie era, per esigenze di consistenza interna matematica, di rispettare la cosiddetta “invarianza conforme”: la teoria non deve cambiare al variare di scala.

FRATTINI – La teoria bosonica considerava solo i bosoni (come i fotoni): solo forze e niente massa, niente materia e, per far tornare i conti, una particella con massa immaginaria, chiamata “tachione”, che poi non esiste. Le 5 teorie supersimmetriche hanno 10 dimensioni. Una delle ricadute positive di queste ricerche è stato lo sviluppo della matematica, introducendo concetti nuovi.

JULVE – Concetti per iniziati.

BERTUZZI – Il calcolo matematico postula una determinata teoria fisica o si limita a descrivere? La gravità fu formulata da Newton attraverso il calcolo infinitesimale, che serviva a descrivere la traiettoria della Terra attorno al Sole: era uno strumento di descrizione. Non è che il calcolo infinitesimale esigesse la forza di gravità. Queste stringhe, che non vediamo, da che cosa sono esigite?

BELARDINELLI – Questi sono dei veri e propri modelli, che hanno uno scopo predittivo, e corrispondono alla realtà se ci riescono.

FRATTINI – L'esigenza di sviluppare queste teorie non viene dalla matematica in se stessa, ma per unificare le leggi dei vari ambiti, che non posso considerare come compartimenti stagni quando la natura non lo è.

BELARDINELLI – Sviluppando un modello, la matematica riesce a semplificare cose molto complicate. Trova strade di sintesi in una piccola formula. In questo senso un fisico viene aiutato dalla matematica. Da 26 dimensioni, con la supersimmetria, siamo arrivati a 10. Così si semplifica. Per esempio, considerando la realtà come una sfera (simmetria radiale o sferica), invece di dare tre numeri (le tre coordinate) per identificare un punto nello spazio tradizionale, basta dare il valore del raggio.

BERTUZZI – Quando è che queste teorie diventano rappresentazioni della realtà?

BELARDINELLI – Quando le previsioni sono verificate.

BERTUZZI – Si tratta di un procedimento ipotetico deduttivo: la teoria non è verificata, ma almeno non è smentita.

FRATTINI – Se la teoria mi mette in grado di prevedere effetti misurabili, anche se non è certa aumento la sua attendibilità.

BELARDINELLI - Questi discorsi diciamo che valgono fino a prova contraria.

FRATTINI – Vorrei finire in breve il discorso. Per unificare queste 5 teorie è nata la teoria “M”, che introduce un'ulteriore dimensione. Ma questa teoria ha permesso di riformulare la teoria inflazionistica dell'universo ed anche una nuova teoria anti-inflazionistica (con big-bang ricorrente). Il big-bang sembra abbastanza assodato che sia avvenuto: abbiamo indicazioni molto precise. L'inflazione riguarda il fatto che i corpi celesti si allontano molto più velocemente del previsto. Se si arrivasse alla morte termica si dovrebbero annullare le forze gravitazionali, altrimenti si potrebbe tornare ad un big-crunch. Inoltre si ha spazio per ipotizzare il multiverso. La teoria M apre queste questioni.

PARENTI – Nella introduzione al libro “Modelli e analogie nella scienza” di Mary Hesse (Feltrinelli, Milano 1980), Cristina Bicchieri scrive che un modello matematico è una rappresentazione aritmetica di una teoria empirica, cioè un insieme di proposizioni matematiche che ha la stessa forma delle leggi di questa teoria; il loro rapporto è di isomorfismo fra strutture e questo modello non va confuso con la teoria empirica quantificata, una teoria cioè i cui termini descrittivi sono posti in corrispondenza con numeri. In una nota la Bicchieri precisa che un esempio di rappresentazione aritmetica, cioè di modello matematico, è la geometria analitica. Mentre la geometria euclidea è una teoria fisica, i cui assiomi e teoremi sono leggi empiriche sulle proprietà dei corpi rigidi nello spazio, la geometria analitica mette in corrispondenza biunivoca i termini descrittivi non definiti che compaiono negli assiomi della geometria euclidea con termini aritmetici definiti: ad esempio a “punto” corrisponde “coppia ordinata di numeri”. Ne risulta che le figure geometriche corrispondono ad equazioni o sistemi di equazioni.

Una domanda, che mi pare facesse padre Bertuzzi prima, è se l'unificazione sia una esigenza dell'algebra o della geometria analitica, oppure dipenda invece dalla realtà empirica.

Un'altra domanda che mi veniva è che cos'è l'unificazione. Vorrebbe dire che devo avere meno premesse per dedurre molte conseguenze? Ma in genere sono più numerose le premesse delle conclusioni.

Perché non cercare di unificare anche le altre discipline, come la chimica, la biologia...? La natura è una anche per loro.

Infine: che cos'è una dimensione? Un parametro della misura di una grandezza? Per cui, se una grandezza dipende da sei parametri, dico che ha sei dimensioni?

FRATTINI – Anche nella teoria delle stringhe le chiamano parametri. Come il campo gravitazionale è dovuto alla deformazione dello spazio, anche il campo elettromagnetico è dovuto alla deformazione dell'iperspazio a 5 dimensioni. Allargando il concetto, qualsiasi particella è dovuta a parametri dello spazio. Il tipo di particelle che esiste in un mondo è dovuto alle soluzioni di queste equazioni della teoria delle stringhe (le soluzioni sono circa 10⁵⁰⁰). Per soluzione si intendono i punti di stabilità: situazioni per cui ho un minimo di energia (che non è lo 0, ma il punto più basso raggiungibile). Questo significa ipotizzare la possibilità di tanti mondi possibili: ogni soluzione rappresenta un mondo possibile, cioè una rappresentazione stabile della realtà.

PARENTI – Allora se ne verifica solo una, mentre tutte le altre soluzioni restano nel mondo dei possibili. Oppure le si considera tutte reali?

FRATTINI – Mondi possibili, ma non hanno gli stessi tipi di particelle. Il tipo di particelle dipende dagli spazi di Calabi-Yau, cioè da come sono conformate le dimensioni legate ai singoli punti, che non sono più punti, ma spazi compattati. Le stringhe (che costituiscono le particelle) aperte devono avere gli estremi che giacciono su queste brane (oggetti matematici), che sono a più dimensioni e limitano le stringhe, mentre le stringhe chiuse sono libere da questo vincolo.

PARENTI – Cartesio voleva partire dal minor numero possibile di principi (idee chiare e distinte) per poi costruire un modello algebrico della realtà. Questo modello diventa in pratica una costruzione fatta da noi e, nella misura in cui si è coerenti, capita di trovare qualcosa che è isomorfo alla costruzione.

BELARDINELLI – Non è sempre così. L'unificazione tende al contrario.

FRATTINI – Tu parti da vari oggetti e da misure, dalle quali trai una legge empirica. Devi dare spiegazione della legge empirica. Cerchi allora di tradurla in un modello matematico. Così fai una semplificazione, come nella legge dei gas perfetti: molecole puntiformi senza dimensioni.

BELARDINELLI – L'equazione è una descrizione di quello che succede, ma sotto certe ipotesi: è un modello, che ha capacità predittive, verificabili sperimentalmente. Vale fino a prova contraria. Una semplificazione, però, è necessaria.

FRATTINI – Tornando alle stringhe, si è visto che se noi chiudiamo il sistema dal punto di vista dei parametri, le soluzioni sono da ricercare nei minimi di energia. Sotto la lunghezza di Planck, dove ci sono le dimensioni nascoste, l'energia è massima. Man mano che ci sono spazi più grandi, l'energia diminuisce con certi andamenti. Ci può essere un minimo con energia positiva, un minimo con energia 0, un minimo con energia negativa. Aumentando ancora la grandezza abbiamo il tendere all'infinito con l'energia che diminuisce sempre. Il minimo negativo significa una specie di buco nero: il sistema collassa. Il minimo con energia positiva, se è troppo positiva, è stabile in tempi molto brevi, perché l'energia alta tende a disgregare tutto. Il nostro mondo dov'è?

Noi siamo ad un livello di energia, misurato, di poco superiore allo 0, cioè 10^-118 Ʌ_p, dove Ʌ_p è la massa di Planck.