Centro San Domenico

Piazza San Domenico 12

40124 BOLOGNA

tel. 051 581718

Bologna, 10 dicembre 2024

Agli amici degli

Incontri Interdisciplinari

Carissimi,

Ci rivedremo mercoledì 18 dicembre, alle ore 21, presso il Convento San Domenico, che ci ospiterà nella sua “sala del fuoco”, cui si accede da Via San Domenico 1.

Proseguiremo il dibattito della volta scorsa, animata dal prof. Julve sul tema delle onde gravitazionali.

C’è la possibilità di partecipare on-line tramite Jitsi-Meet. Per partecipare on-line, è indispensabile avvisare qualche giorno prima padre Sergio Parenti.

In attesa di incontrarci, un cordiale augurio a tutti di un santo Natale ed un sereno anno nuovo.

fra Giovanni Bertuzzi O.P. fra Sergio Parenti O.P.

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Breve resoconto dell’Incontro interdisciplinare del 18 dicembre 2024

a cura del prof. Jaime Julve e di fra Sergio Parenti O.P.

JULVE - Nel precedente incontro ci siamo occupati delle onde gravitazionali e del loro contesto paradigmatico dato dalla Relatività Generale einsteiniana, e avevamo concordato di approfondire l’argomento nell’incontro di oggi. È quindi naturale che sia ancora io a suscitare alcuni punti di dibattito che credo possano interessare tutti.

La prima questione che volevo porre è se Kant fosse a conoscenza delle geometrie non euclidee e quale forma matematica supponesse ai suoi “a priori” di spazio e tempo oltre la definizione di base di condizioni di possibilità di fare esperienza del mondo esterno. Quest’anno si celebra il terzo centenario della nascita e ho avuto occasione di presenziare all’incontro su “Kant & le Scienze”, tenuto lo scorso 9 dicembre all’Accademia delle Scienze dell’Università di Bologna. La prolusione di Giuseppe D’Anna, professore dell’Università Cattolica di Milano, versava su “Kant e la geometria” e fece una introduzione alle geometrie non euclidee: la ellittica, in cui come quinto postulato si decide che non c’è nessuna parallela per un punto esterno ad una retta, e la iperbolica in cui ci sono infinite parallele. La euclidea, in cui c’è una e solo una parallela, è solo il caso particolare giusto al confine tra queste due. Dal discorso si desumeva che, se Kant ne avesse avuto conoscenza, avrebbe postulato questa cornice più ampia per dare forma al suo a priori di spazio. Posteriormente ho guardato nel dettaglio le date delle vite e dei contributi cruciali in questo campo,

I. Kant (1724-1804) pubblica la “Critica della ragione pura” nel 1781.

C. F. Gauss (1777-1855) riconosce il lavoro di Lobachevsky nel 1827.

N. Lobachevsky (1793-1856) “scopre” la geometria iperbolica.

J. Bolyai (1802-1860) studia le geometrie non euclidee in generale.

per concludere che difficilmente Kant poteva conoscere il lavoro di Lobachevsky, già entrato nell’ottocento, perché posteriore alla sua morte, e che il suo presupposto per lo spazio fosse sicuramente quello euclideo, anche se probabilmente fosse al corrente del dibattito sul V postulato.

SUSANNA FRATTINI – Hai detto geometria ellittica?

JULVE – Sì. Si usano come sinonimi ellittica, chiusa o Riemanniana, il cui esempio archetipico è la superficie della sfera, e iperbolica o di Lobachevsky per quella aperta del paraboloide iperbolico o sella da cavallo.

Nel solco del lavoro pionieristico di Lobachevsky e Bolyai, lungo l’ottocento si ebbe una posteriore formalizzazione matematica nella “geometria differenziale”, affiancata dal “calcolo tensoriale”, che andarono sotto il rivelatore nome, oggi antiquato, di “calcolo differenziale assoluto” con Riemann, Christoffel e la fortissima scuola dei geometri italiani Ricci, Levi-Civita e Bianchi. Einstein attinse a questi sviluppi matematici grazie all’aiuto di Marcel Grossmann, ai quali aveva contribuito.

B. Riemann (1826-1866)

E. Christoffel (1829-1900)

G. Ricci-Curbastro (1853-1925)

L. Bianchi (1856-1928)

T. Levi-Civita (1873-1941)

M. Grossmann (1878-1936)

A. Einstein (1879-1955),

Il mio secondo appunto riguarda la natura delle equazioni usate in ambito relativistico. Dato che l’espressione delle entità coinvolte ha componenti che dipendono dal sistema di riferimento usato dall’osservatore, cioè dal suo stato cinematico o dalle coordinate di comodo che egli adotti, si cerca di avere equazioni che esprimano i rapporti tra le entità, lasciando l’aspetto inessenziale di dipendenza dall’osservatore ai suffissi che indicano le componenti. Così nella fisica newtoniana si usano i vettori, nella relatività speciale i quadrivettori, e nella relatività generale i tensori. L’universalità delle equazioni deriva da identificazione e coinvolgimento di entità assolute o invarianti, indipendenti dall’osservatore, idea all’opposto quindi delle intenzioni del relativismo morale in cerca di legittimazione scientifica nell’opera dei geometri.

SUSANNA FRATTINI – Cosa intendi per geometri?

JULVE – La gente che si occupa di aspetti astratti matematici e analitici delle geometrie concepibili, cioè la gente che parla di geometria ellittica, euclidea o iperbolica con grande uso della geometria differenziale e del calcolo tensoriale. Si studiano le caratteristiche intrinseche (cioè indipendenti dal sistema di coordinate usato, cartesiane, polari o altro) di queste geometrie, come l’esistenza o meno di rette parallele, il rapporto tra il diametro e la lunghezza del cerchio, che è π nella geometria euclidea ma non nelle altre, la somma degli angoli interni di un triangolo che può non essere 180^o, ecc.

L’ultima riflessione che volevo fare è la questione se la natura realizzi sempre, da qualche parte, o prima o dopo, le nostre costruzioni teoriche purché dotate di coerenza logica, o di qualche ulteriore condizione oltre la mera non-contraddittorietà, e non rimangano solo nel mondo delle idee. Aggiungo a questo punto la battuta di un mio maestro di fisica teorica dell’università di Padova, che se una nostra teoria è molto bella, il Creatore si commuove e la realizza. Penso al precedente storico dei numeri e delle funzioni complesse che hanno avuto realizzazione nella meccanica quantistica, e naturalmente alle geometrie non euclidee alla base della Relatività Generale di Einstein. Ancora, sempre parlando di gravitazione, penso ai buchi neri, che erano solo una possibilità teorica e sono poi stati effettivamente osservati.

Come testo di riferimento universale dagli anni 70 per la Relatività Generale rimane il grosso e di per sé completo volume Gravitation, di C.W. Misner, K.S.Thorne e J.A.Wheeler (edizione originale: W.H. Freeman, 1973, rieditato dalla Princeton Univ. Press, 2017).

Per il momento mi fermo qui. Ringrazio Rita Casadio, che mi ha segnalato una recente conferma indiretta delle onde gravitazionali. Osservando al radiotelescopio i segnali elettromagnetici che giungono da sistemi binari di Pulsar si è visto che ci sono onde gravitazionali che alterano in modo riconoscibile i segnali.

Una domanda metafisica: come mai quando una cosa è teoricamente possibile, prima o poi troviamo che madre natura la realizza?

FRATTINI - Se tu fai un pensiero coerente su qualcosa, questo qualcosa deve esistere da qualche parte. Mi viene in mente la prova dell’esistenza di Dio di Anselmo d’Aosta: Dio lo concepisco come ciò di cui non si può pensare nulla di più grande; ma, se ciò di cui non si può pensare nulla di più grande non esistesse, sarebbe più grande se esistesse. Gaunilone gli obiettava che se penso ad una cosa, non per questo esiste. Ma, quando il pensiero di una cosa è al limite, allora deve esistere.

JULVE - Deve esistere come necessità logica?

PARENTI - Si deve distinguere la non-contraddittorietà logica dalla capacità reale. Possibile come non-contraddittorio è una cosa; possibile come capacità reale vuol dire che se gli dai il tempo che gli serve, prima o poi ci riesce, perché se non ci riuscisse mai vorrebbe dire che non è capace. Dalla possibilità reale Aristotele concludeva che se una cosa è generabile è anche corruttibile (e i teologi condannarono la sua tesi). Per capire il suo discorso occorre distinguere la possibilità logica da quella reale.

L’obiezione che Tommaso faceva alla prova di Anselmo era che non aveva il concetto di “ciò di cui non si può pensare nulla di più grande”. Abbiamo solo un concetto negativo. Siamo abituati ad usare quelle parole fin da bambini e ciò dà l’impressione di avere un significato reale.

Dalla capacità reale viene il principio che in perpetuis idem est posse et esse, mentre per la logica a posse ad esse non valet illatio.

JULVE - Chi è che decide tra capacità logica e capacità reale?

PARENTI - La realtà. Un gatto è capace di muoversi. Se lo chiudo in un locale dove esiste un buco dal quale potrebbe uscire e il gatto ha fame e vuole uscire, prima o poi riesce a trovare il buco. Se non c’è un buco, non c’è la possibilità reale.

Voler ridurre tutto al principio di non-contraddizione è stato un grave errore. Aristotele dice esplicitamente negli Analitici Posteriori che esso non è principio di alcuna dimostrazione dell’epistéme. Nemmeno della dimostrazione per assurdo (si usa il principio del terzo escluso). La distinzione tra argomenti logici ed argomenti reali era molto cara ad Alberto Magno, e Tommaso la sottolinea, appena arrivato a Parigi, nel De ente et essentia.

FRATTINI - La possibilità reale è molto importante per le scienze, ma è un argomento molto sfuggente.

PARENTI - Il problema è che per i platonici la matematica è un mondo ideale: per questo si meravigliano. Invece Alberto Magno ti spiegherebbe che la matematica coglie la misura in quanto misura e non misurata su qualche cosa: la quantità in se stessa. Poi c’è la prima delle qualità che è la figura geometrica, che tu sai che c’è perché un corpo infinito non può esistere. La fine del corpo è la superficie, la fine della superficie è la linea, la fine della linea è il punto. La Fisica di Aristotele fonda sulla realtà sia la matematica sia la geometria. Puoi però applicare alla realtà la matematica e la geometria. Puoi fare una dimostrazione che la Terra è sferica dal fatto che, nell'eclissi di Luna, l’ombra della Terra sulla Luna è circolare, e la geometria ti dimostra che la proiezione circolare è quella di una sfera. Questa è la prova della fisica-matematica. La prova della fisica (scienza della natura) parte invece dal fatto che tutte le cose, sulla terra, cadono allo stesso modo. Presupponendo che il moto locale sia un tendere ad un luogo connaturale, se la terra fosse piatta i corpi cadrebbero con direzioni diverse a seconda del posto dove li lasciamo cadere. Poiché tutti cadono perpendicolari al suolo, vuol dire che c’è un unico luogo cui tendono, e questo è il centro di una sfera. Aristotele ammette entrambe le prove, e si chiede se la fisica-matematica sia più matematica o più fisica, e dice che è più fisica.

Tutto però parte dalla conoscenza delle realtà naturali. Non c’è più la meraviglia che l’universo platonico della matematica trovi una realizzazione nella natura.

Volevo farti una domanda: in uno spazio non euclideo il sistema di riferimento è sempre inteso come i tre assi cartesiani euclidei?

JULVE - Il sistema di coordinate deve permettere di fissare univocamente la posizione di ogni punto dello spazio. Sulla superficie di una sfera puoi usare latitudine e longitudine, ma ce ne sono altre. Nello spazio del paraboloide iperbolico (la sella di cavallo) ci sono altre coordinate. In un qualunque spazio con geometria intrinseca non euclidea, ci sono certe coordinate che sono più vicine a quelle cartesiane. Queste coordinate vengono chiamate “armoniche”. Ma non puoi avere coordinate cartesiane in spazi non euclidei (che non hanno il postulato delle parallele).

PARENTI - I greci facevano le dimostrazioni sulle figure geometriche. Pitagora era andato in crisi per via delle grandezze non commensurabili. Platone sostituisce all’aritmetica la geometria, superando così la crisi dei pitagorici: nel Timeo, dopo la parte iniziale, cercava una spiegazione delle nature delle cose nelle diverse figure geometriche. Calcidio, nel suo Timeo, presentò solo la prima parte del Timeo platonico, poi proseguì interpretando a modo suo anche materia e forma di Aristotele. Il suo testo fu il manuale di filosofia della natura nelle scuole del medioevo cristiano dell’occidente. Quando fu tradotta la Fisica di Aristotele, venne proibita. I cristiani preferirono il pensiero più platonico di Calcidio e interpretarono il Demiurgo di Platone nel senso che Dio crea la materia prima informe e poi la plasma come vuole (anche gli angeli hanno una materia). Platone, nella prima parte del Timeo, tratta della materia primordiale che non deve essere nulla di ciò che può diventare e la identificava con lo spazio vuoto. Per Aristotele non esiste spazio vuoto: lo spazio è solo la distanza che c’è tra gli estremi del contenitore, ed il luogo non è altro che il contenitore: è la misura estrinseca, come il recipiente con cui misuriamo un litro d’acqua. Anche il tempo è una misura.

Una trasformazione è uno stato imperfetto. Quindi posso dividerla in due trasformazioni (fin qui sono arrivato, poi c’è il resto). Ma il “fin qui sono arrivato” posso dividerlo sempre in parti a loro volta sempre divisibili. Se prendiamo una retta come metafora, due punti che si toccano sono lo stesso punto, ma se non si toccano, tra loro c’è un segmentino che, per quanto piccolo, resta divisibile all’infinito. Questo è Aristotele. Questo è il fondamento per dire che potrò avere un numero di parti che non finisce mai. L’insieme dei numeri interi posso dirlo infinito per questo motivo: posso contare le parti. Ma questo discorso non parte da un insieme mistico dei numeri. Le grandezze realmente continue sono misure pure: sono il moto locale e il tempo (misura della durata della trasformazione). Le altre grandezze non è detto che siano continue: per Aristotele esistono gli atomi. Solo la quantità, cioè la misura (quanto è grande?), resta continua.

Poi siamo riusciti a descrivere la geometria con l’algebra. L’algebra è praticamente una restrizione della logica formale all’oggetto matematico. L’algebra di Boole coincide con la logica formale proposizionale. Cartesio trova il modo di descrivere la geometria con l’algebra. Restava il problema delle grandezze non commensurabili. Leibniz e Newton, col calcolo infinitesimale, superarono il problema. Il nome “spazio” venne esteso ad una struttura algebrica che può avere più di tre dimensioni. Si tratta di misure considerate in astratto. La parola “spazio” diventa un modello algebrico della geometria e un trattato di geometria può usare solo l’algebra delle matrici senza fare una sola figura.

JULVE - Si chiama geometria analitica.

CAPELLA - Ho sentito parlare, a proposito della materia oscura, di “nubi” di “assioni” che sarebbero particelle ipotetiche. L’uomo però si avvicina sempre alla realtà teorizzando e facendo ipotesi.

JULVE - C’è la possibilità che certe particelle si materializzino, tante volte succede, ma a volte ci siamo sbagliati. La materia oscura è necessaria, se vogliamo mantenere le leggi della gravitazione, per spiegare il moto delle galassie. Ma, ad esempio, l’ipotesi dell’etere fu poi definitivamente scartata.

FRATTINI - Si potrebbe richiamare il principio della possibilità reale.

JULVE - Questo è un problema metafisico molto importante. Il principio di non-contraddizione è un po’ elementare.

PARENTI - Serve a controbattere, non in modo scientifico ma “dialettico”, lo scetticismo di Eraclito. Perché le nozioni, anche delle cose continuamente mutevoli, sono invece immutabili. Ora, dire che è vero che non ci sono verità è un auto-contraddirsi. Però questo non è l’argomentare della scienza aristotelica, che cerca il perché certe cose abbiano certe proprietà. Nella scienza aristotelica bisogna partire non dal principio di non-contraddizione, ma dal fatto che tutto interagisce trasformando e venendo trasformati. La trasformazione è il punto di partenza, da cui segue la quantità.

BERTUZZI - Vorrei far notare la differenza tra l’a-priori che noi usiamo in metafisica e l’a-priori kantiano. Per l’epistemologia tradizionale noi, partendo dall’esperienza, dal dato di fatto, ricaviamo a-posteriori delle leggi che poi applichiamo a-priori, cioè prima dell’esperienza, a problemi nuovi, facendo previsioni. Quindi l’a-priori è ricavato dall’esperienza. Per Kant, invece, l’a-priori è la condizione a priori dell’esperienza. Lo spazio e il tempo sono condizioni a-priori perché io possa riunire i fenomeni.

JULVE - Da questo a-priori, che è solo una condizione di possibilità, non potrà dire se lo spazio è euclideo o altro.

FRATTINI - Per Kant poteva essere solo euclideo. Le possibilità dell’essere umano di vivere nel suo intorno sono solo euclidee. L’uomo non ha possibilità esperienziali diverse.

PARENTI - Però guardando le stelle vediamo il passato. Le dimensioni sono le grandezze in gioco in una equazione? Se sì, non c’è solo larghezza, altezza e profondità, ma anche il tempo, o meglio lo spazio percorso dalla luce in un certo tempo. Poi potrebbero esserci altre grandezze in gioco. L’insieme crea uno spazio pluridimensionale come struttura algebrica. Potrebbero esserci certe grandezze incognite solo ipotizzate per fare tornare i conti ? Se i conti non tornassero, allora avrei una struttura assurda da scartare. Qui il principio di non-contraddizione serve. Per Aristotele la ricerca, la “dialettica”, è importantissima per arrivare alla scienza.

FRATTINI - Le dimensioni non sono le grandezze.

PARENTI - In effetti le grandezze fondamentali della fisica sarebbero sette, mentre si parla di spazi anche ad infinite dimensioni.